12 hombres sin idea de Física: Desmontando a los testigos

Ayer por la noche estuve viendo la película "12 hombres sin piedad", una película bastante interesante, aunque lo más curioso era la Física que había detrás de los testigos. Por mi mente estaban pasando los conceptos físicos y las ecuaciones que tenían relación con lo que los testigos vieron o sintieron presuntamente. Por eso, y como me viene bastante bien para explicar algunos conceptos de Física de una forma diferente, vamos a tratar de demostrar que los testigos realmente vieron o sintieron lo que afirmaron en el juicio.

Si no habéis visto la película, os la recomiendo. Aún así, os haré un breve resumen de la película. La historia gira entorno a un presunto asesinato de un hombre que, en teoría, fue asesinado por su hijo de 18 años. El jurado lo forman 12 hombres, de lo cuales 11 ven claramente que el niño es culpable. La decisión de si es culpable o inocente tiene que darse por unanimidad, ya que en caso de ser culpable iría a la silla eléctrica. Como hay un miembro del jurado que no tiene claro si es inocente o culpable, tienen que tratar de convencer a este miembro de que es culpable, aunque finalmente el sino del chico de 18 años será otro muy diferente.

En el juicio participaron principalmente 2 testigos que aseguraban que el chico era el asesino del padre. Analicemos a los 2 testigos:

1º. El hombre mayor. Existe un hombre mayor que vive justamente debajo de la casa del chico que presuntamente a matado a su padre. Este hombre dijo había escuchado al chico decir al padre en una discusión que le iba a matar y que un tiempo después, se escuchó un golpe en el suelo que debía ser el cadáver del padre. Este hombre afirmaba que tras escuchar el golpe, se levantó de la cama, y llegó a la puerta en unos 15 segundos, donde tras abrir la puerta, vio al chico salir corriendo.

2º. Una mujer en el edificio de enfrente. Esta mujer afirmó que vio, desde el edificio del enfrente, al chico asesinar a su padre. La mujer dijo que lo vio por las ventanas de los 2 últimos vagones de un tren que se cruzó en ese preciso momento. En el juicio tuvieron que demostrar que era posible ver a través de las ventanas de un tren. Esta mujer parece el testigo más válido, ya que es el testigo que dijo ver el asesinato.

Existen otras presuntas evidencias como lo son la navaja del chico. Esta navaja en teoría era la única que existe en el barrio. Esta prueba se desmonta muy rápido al mostrar que existía, al menos una navaja más en el barrio. Con esto, se pasó de un 100% de probabilidad de que fuese el chico, a un 50%. Aunque la probabilidad es alta, esta prueba se descarta ya que antes se pensaba que solamente existía una navaja, y ahora en presencia de una más, se demuestra que pueden existir más de una.

Pero de lo que me voy a centrar es de desmontar, desde el punto de vista Físico, a estos 2 testigos ¿Se podrá? Vamos a por ello.

El primer testigo dijo escuchar "te voy a matar". Deberemos de analizar si eto es posible, ya que como acredita el segundo testigo, justamente en ese momento pasaba un tren por delante del edificio. En la película mencionan cuánto tiempo tarda el tren en pasar, pero este dato es irrelevante.

Cuando el tren pasa por delante del edificio, tanto el primer testigo, como el segundo, como el chico y el padre, fueron protagonistas de un efecto que se da en Física llamado efecto Doppler. El efecto Doppler es el cambio de frecuencia aparente de una onda, producida por el movimiento relativo de una fuente respecto a un observador. Más concretamente es el cambio de frecuencia de una onda, debido a que el foco es móvil y el observador está fijo. Es decir, el único elemento que se está moviendo es el elemento que está emitiendo el sonido.

Ya sabemos que en t=0 el foco está en x0 e inicia una vibración. Esta vibración llega al observador con t0=[x-x0]/v y para t=T, el foco completará la oscilación..

Para t=T, el foco se encuentra en x1 y como x-x1=VfT, la perturbación tarda un tiempo t1=[x-x1]/v en llegar desde x1 hasta x. Así pues, el observador percibe el fin de la oscilación, para un tiempo final tf=T+t1--> tf=T+[x-x1]/V.

Así pues, estaremos en disposición de definir el período que mide el observador entre el comienzo y el fin de la oscilación. Siendo esta:

Como ya sabemos que x1-x0=VfT, la expresión queda de la siguiente manera:

Dada esta expresión, podemos obtener también la frecuencia percibida por el observador.

Si Vf es mucho menor que v, podemos decir:

Así pues, deducimos que

Esta situación se daría cuando el foco se acerca al observador. Cuando se da la situación contraria, la fórmula lo único que varría es que en vez de una suma, es una resta.

Me puedo detener a explicar lo que es la frecuencia, ya que el propósito de esta entrada es tener mi cuaderno de notas físicas personal y además, una intentona de explicar física de una manera más entretenida y desde 0.

El concepto de frecuencia, como mejor se entiende-al menos así lo veo yo- es con la gráfica. Imaginemos que esa onda se desplaza a lo largo del tiempo. Como vemos, hay 2 "olas" hacia arriba, pues bien, esas "2 olas" es la frecuencia. Es cuántas veces se repite en un tiempo determinado, una onda. Por otro lado, la distancia que hay entre los puntos A y A' es la denominada longitud de onda, magnitud que se suele expresar con Lambda. La distancia que hay entre, por ejemplo, el punto A y el eje, se denomina amplitud.

Sabiendo y entendiendo estos conceptos, podemos deducir fácilmente y sin necesidad de realizar cálculos, que a menor longitud de onda, mayor frecuencia. Es decir, a menor distancia entre, por ejemplo el punto A y A', habrá más ondas en menos tiempo.

Esto nos plantea interesantes hechos, como es que si superponemos dos ondas de igual amplitud en módul, pero distinto signo, la ecuación general de las ondas, definidas por la ecuación.

Donde wt-kx es la fase de onda, K es el número de onda y fi sub 0 es la fase inicial, la cual podemos considerar 0 para reducir cálculos. Por supuesto si realizamos el sumatorio de ondas y ambas amplitudes fuesen de igual valor pero distinto signo, tendríamos

Obviamente, no nos importa cuánto sea la fase de onda y si su seno es o no 0, ya que si la amplitud del sumatorio realizado, es igual a 0, toda la ecuación será 0. Es lógico, que tenga amplitud 0, significa que está sobre el eje x, y por lo cuál, no dispondría ni de longitud de onda, ni de frecuencia ni de período.

Aunque parezca que este hecho no tenga aplicación alguna, esto se usa para, por ejemplo, quitar la voz de una canción para dejarla en modo karaoke. Esta acción con el software Audacity es bastante sencillo. Es por esto que podemos quitar la voz de una canción y dejarla en modo karaoke. Si este concepto, nos resultaría imposible tener canciones sin voz a menos que se hiciesen expresamente así.

Pero esta situación se daría si el valor de las amplitudes fuese igual, pero de signo contrario. Como hemos visto, la amplitu es un factor importante en la ecuación general de las ondas planas. Para nuestro caso que estamos analizando, tendremos que recordar que estarían vibrando una onda que es el grito "te voy a matar" y otra onda que sería la provocada por el ruido del tren. Con GeoGebra podemos representar 2 ecuaciones sinusoidales cualesquiera que representen las ondas de ambos sonidos.

Una de las ondas representará a sonido del grito, y otra onda representará al sonido del tren, pero la pregunta sería ¿Cuál pertenece a cada sonido? Para saber qué onda pertenece a cada sonido deberemos de saber que los gritos son sonidos de tono grave. Se dice que un tono es grave cuando es de frecuencia baja. Consideramos que una frecuencia es baja cuando la frecuencia es de unos 250Hz. Por otro lado, tenemos los sonidos de tonos agudos, y se consideran agudos cuando es una frecuencia alta, y consideramos que una frecuencia es alta cuando la fecuencia es mayor de 2000 Hz.

Ya sabemos que los gritos son de tono grave ¿Pero de qué tono es el sonido del tren?  Pues bien, como hemos visto, cuando un foco se acerca a un observador, teníamos una suma, por lo cual, la frecuencia será más alta, y como hemos dicho, las frecuencias altas equivalen a un tono agudo, ergo el tono del sonido del tren es un tono agudo. Sabemos entonces que el sonido del grito es un tono grave-que equivale a frecuencias bajas- y el sonido del tren equivale a tonos agudos-que equivale a frecuencias altas-. Pero la pregunta ahora sería ¿Cómo sabemos que el tren está acercándose del observador y no alejándose, lo que cambiaría su tono a uno cada vez más grave? La respuesta es bastante sencilla, ya que el segundo testigo, afirmó ver el asesinato mientras pasaban los 2 últimos vagones, con lo cuál, el tren esta acercándose y no alejándose.

Este fénomeno, el efecto Doppler, se da para todas las ondas. Hay muchos tipos de ondas, en nuestro caso hemos analizado las ondas sonoras, pero con la luz ocurre lo mismo. Este efecto, es el que usan cosmólogos y astrónomos para saber si las galaxias se alejan o acercan de nosotros ¿Cómo? Muy sencillo.

La fórmula de la frecuancia, viene definida por una relación indirectamente proporcial. La frecuencia es igual a la velocidad de la onda entre la longitud de onda. Como para el caso de la luz, sabemos que es c, sustituimos para que nos quede la expresión dada en la fórmula anterior. Es fácil darse cuenta,si analizamos la expresión, que cuanto menor sea la longitud de onda, mayor será la frecuencia. Esto es tan fácil de suponer como que si tuviésemos que c=10, entonces 10/1=10, que es mayor que 10/2=5. Analizando las dos ondas dibujadas con GeoGebra, también nos podemos percatar de esto. Pero ¿Cóo utilizan esto los cosmólogos y astrónomos?

En el espectro de ondas visibles, tenemos 7 colores, en un extremo está el azul, y en el otro el otro el rojo. Las longitudes de onda cortas, corresponden con el azul, y las longitudes de onda grandes, representan al rojo. Por esto mismo, si las Galaxias se acercan, emitirán el color azul, y las galaxias que se alejen, emitirán el rojo. Es lógico que conforme más se aleje, menos frecuencia tenga.

¿Pero qué implicaciones tiene esto con nuestro primer testigo? Pues que, sabemos que la frecuencia no es la misma, y ni mucho menos, de signo contrario. Lo que sí sabemos, es que el sonido del tren se va a superponer al sonido del grito, lo que imposibilitaría al primer testigo de escuchar nada, o al menos, no pudo escuchar el mensaje completo, aunque sí trozos.

Es decir, la primera parte de la afirmación del primer testigo es falsa, no pudo escuchar nada. La segunda parte de su afirmación era que en cuanto escuchó el golpe del presunto cadáver, el señor mayor se levantó de la cama, fue hasta a la puerta y vio al chico bajar corriendo. El señor mayor afirmó que desde que se levantó de la cama hasta que vio al chico, pasaron unos 15 segundos.

En la película se sacó un plano de las habitaciones y se dijo que tanto la del señor como la del asesinado, eran exáctamente iguales. Consideramos que la cama está en la esquina superior derecha. Las distancias creo que eran esas, aunque no estoy seguro, pero para nuestro caso nos sirve. Además, en la película se experimentó si el señor mayor, con un problema en el pie, cuánto tardaría en recorrer esa distancia, se llegó a la conclusión de que se tardó 45 segundos, lo que varía bastante de esos supuestos 15 segundos. Enseguida dijeron que era imposible que el hombre viese al chico ¿Pero es eso verdad?

Por la teoría de la relatividad, sabemos que en función de la velocidad, se sufre una dilatación temporal. Por supuesto, con nuestras velocidades en nuestra vida cotidiana, la dilatación temporal es insignificante. Solamente con velocidades muy altas se podría apreciar esta dilatación. Es más, si v=c, tendríamos que t sería igual a infinito, y en este caso, solamente nos interesa el resultado positivo del límite.

Antes de continuar, diremos que t es el tiempo que mide el primer testigo y t0 es el tiempo que mide el chico que presuntamente es el asesino. Vamos a suponer que es cierto eso de los 15 segundos, pero vamos a decir que ese es el tiempo que mide el primer testigo.

Veremos, que el tiempo que percibe el primer testigo, sí pudo ser 15 segundos, aunque con esa velocidad, el tiempo que debió tardar en llegar a la puerta, es de 45 segundos ¿Qué está pasando? Pues supongamos que para apreciar algo que pase por delante de la puerta-sin necesidad de abrirla, por ejemplo, ver la sombra pasar por delante de la puerta-, necesita estar a la mitad de la distancia del lado largo-esos 12 metros-. Es decir, para estar en ese punto, ha tenido que recorrer 10 metros. Los 4 para salir de la habitación y 12/2=6.

Sabiendo que ahora está en el punto x=10, x0=0 y v=0.355, sabemos cuál es el tiempo que ha tardado para llegar hasta allí.

Este resultado es muy curioso, ya que es aproximadamente son 30 segundos, y si a esos 30 segundos le sumamos 15 de que es lo que dice que tarda en ver al chico correr, nos dan esos 45 segundos que dicen en la película que tarda presuntamente. No solamente eso, podemos asumir que en esos 15 segundos restantes hasta llegar a la puerta y abrirla, es el tiempo que el chico tarda en llegar a las siguientes escaleras, con lo cuál, en el momento que el primer testigo abre la puerta, sí que pudo ver al chico corriendo escaleras abajo. Así que en la película, descartaron que el señor viese al chico, aunque sí que es posible que lo viese; aunque esto no significa que el chico lo matase, ya que hemos demostrado que el señor no pudo escuchar el golpe en el suelo, ya que en ese momento pasaba un tren, que por ele efecto Doppler, imposibilita entender el grito.

En la película llegaron a la conclusión de que el señor escuchó algo en un momento, un tiempo después, salió a la puerta y vio al chico bajar las escaleras, pero no justamente después del asesinato. La hipótesis más probable es que el padre del chico fuese asesinado, al tiempo llegase el chico que gritaría o algo, bajase corriendo y ahí lo viese el primer testigo, ya que sabemos que ver lo pudo ver.

Vale, hasta aquí el primer testigo ¿Pero qué pasa con la chica que es la segundo testigo? Bueno, en lo que dice la segunda testigo no hay tanta Física, solamente, que comentan un detalle casi al final que es que la chica usa gafas por unas marcas en la nariz, por lo que no pudo apreciar correctamente quién era quién. Eso no es del todo verdad, ya que depende de su defecto de visión.

El ojo tiene la función de actuar como un órgano receptor del aparato visual. Los rayos de luz, llegan al ojo y son enfocados por la córnea y el cristalino para formar la imagen invertida. Este es el típico ejemplo del árbol invertido que nos enseñan a todos en la escuela. Lo cierto es que es una imagen real, invertida y más pequeña. Ésto es fácil de entender sabiendo óptica geométrica. Es por esto, que la imagen se debe formar en la retina, siendo ésta el foco de este sistema óptico. A este tipo de ojos que tienen la retina como foco, se les llama ojos emétropes, es decir, los ojos sanos.

Queda claro, que la chica que es la segunda testigo, no tiene ojos emétropes, sino que dispone de, al menos un problema de visión, que pueden ser:

• Miopía
• Hipermetropía
• Astigmatismo
• Presbicia o vista cansada

La miopía es un estado refractivo en el que el punto focal se forma delante de la retina. Es por esto, que una persona con miopía, tendrá más dificultades para enfocar bien los objetos lejanos. Si la chica esta, tuviese miopía, vería bastante mal a grandes distancias, por lo cuál la imagen del edificio de enfrente, la vería borrosa, lo que no le permitiría ver claramente al asesino.

En la película no se especifica el problema de visión de la segunda testigo, ya que si fuese miópe, tendría problemas para enfocar los objetos lejanos.

La hipermetropía es todo lo contrario, es que el punto focal se forma detrás de la retina, lo que haría que los objetos cercanos no los enfoque claramente, pero sí los lejanos. Como este punto no se ha aclarado en la película, solamente podremos suponer una cosa u otra, ya que dependiendo del problema de visión se tendrían que usar unas lentes u otras.

Hay que dejar claro, que en la película se asume que en la cama la chica no llevaba gafas, de ahí que se dude de su palabra, aunque, desde un punto de vista objetivo, no podemos decir una cosa u otra. Que se hubiese aclarado esto, hubiese sido un punto importante, ya que se trata del supuesto testigo que vio el asesinato.

Con toda esta entrada ya hemos visto como podemos dudar de algunas partes de las afirmaciones de los testigos y dudar de algunas de las conclusiones del jurado. Es cierto, que si existe una duda razonable, tampoco se podría asumir que el presunto culpable es culpable.